APUNTES DE GEOMETRIA

1. El triángulo

1.1 Propiedades y tipos de triángulos 

Propiedades:
1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

1.2 Rectas y puntos notables en el triángulo (http://gaussianos.com/los-centros-del-trianguloincentro-baricentro-circuncentro-y-ortocentro/)

Incentro:

El incentro es el centro de la circunferencia escrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus lados es la misma.Más específicamente, es el punto de encuentro de las bisectrices de cada uno de los ángulos del triángulo, por lo que para constituir gráficamente debemos dibujar las tres bisectrices y limitar el punto de encuentro de las mismas. En la imagen lo vemos:

Baricentro

El baricentro de un triángulo es el punto de empalme de las medianas de dicho triángulo. Por ello, para figurar gráficamente el baricentro debemos dibujar las tres medianas y localizar el punto en el que se trozan. Esta es la figura:

Circuncentro

El circuncentro de un triángulo es el eje de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que el trayecto a cada uno de sus vértices es la misma. Por preciso, es el punto de empalme de las mediatrices del triángulo. Por tanto, para representar gráficamente el circuncentro dibujamos las tres mediatrices y localizamos el punto de intersección de las mismas. Puede verse asi:

Ortocentro

El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice).

1.3 El teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras se basa en que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

1.3.1 Demostración 3D

Matemáticamente se puede enunciar con la siguiente ecuación:

Esta ecuación expresa que el área de un cuadrado de lado “a” es igual a la suma de las áreas de dos cuadrados, uno de lado “b” y otro de lado “c”. Si denominamos “a” a la hipotenusa (lado más largo) de un triángulo rectángulo y “b” y “c” a los catetos, gráficamente se puede representar con la siguiente figura.

1.4 El teorema de Tales (vídeo: Les Luthiers - Teorema De Thales https://www.youtube.com/watch?v=UbalEyegXbQ), triángulos semejantes. ¿Cómo calcular la altura de un árbol a partir de su sombra?
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

2. Lugares geométricos

2.1 ¿Qué es un lugar geométrico?

Conjunto de puntos que satisfacen determinadas condiciones o propiedades geométricas.

2.2 La mediatriz y la bisectriz

MEDIATRIZ: Es la recta perpendicular a un segmento que se traza en su punto medio.

 BISETRIZ: Es la Semirrecta que parte del vértice de un ángulo y lo divide en dos partes iguales.

2.3 Las cónicas

2.3.1 ¿Qué es una cónica?

Del cono o relacionado con este cuerpo geométrico. También la completan con una ecuación de segundo grado: Bx^2 + Cy^2 + Dxy + Fx + Gy + H=0

2.3.2 La circunferencia
La circunferencia es una linea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo.Los elementos de la circunferencia son:

• Centro de la circunferencia: el centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
• Radio de la circunferencia: el radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.
• Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
• Arco: un arco es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
• Semicircunferencia: una semicircunferencia es cada uno de los puntos iguales que abarca el diámetro.

2.3.3 La elipse

Lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.
Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes. El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal.
La línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario.

La ecuación de un elipse es x2/a2 + y2/b2 = 0

2.3.4 La hipérbola:

Es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.

2.3.5 La parábola:

Es la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz.

ACTIVIDADES SOBRE FUNCIONES

1ºParte: Conceptos básicos

1. ¿Cómo puedes expresar la relación entre dos magnitudes como, por ejemplo, la masa y el volumen de un cuerpo? Con una función.

2.     ¿Qué es una función? ¿De qué formas pueden expresarse las relaciones entre magnitudes? Pon ejemplos de funciones de la vida cotidiana; puedes buscar en revistas, periódicos, etc. Es una actividad particular que realiza una persona o una cosa dentro de un sistema de elementos, personas, relaciones, etc., con un fin determinado. Estableciendo la relación existente entre dos variables, teniendo en cuenta tablas de datos y analizando sus respectivas gráficas. Ejem: Tiro a la jabalina y al meter una canasta.

3.     ¿Qué es la tasa de variación de una función? ¿Qué valores toma para las funciones crecientes y decrecientes?Al numero que representa el aumento a disminución que experimenta la función al aumentar la variable independiente de un valor ``a´´ a otro valor ``b´´. Si f'(x) > 0 es creciente.Si f'(x) < 0 es decreciente.

 Los máximos y mínimos relativos son valores de y que terminan en un punto máximo y mínimo pero no es el máximo o mínimo, es decir, en el ejemplo el máximo relativo es el punto -1, 2 aunque después del mínimo relativo tiene un valor de y más elevado, por lo que no es el mayor máximo. Lo mismo pasa con el mínimo.El máximo o mínimo absoluto es el valor de y más alto (o bajo si es mínimo) que tiene una función. En el ejemplo, el máximo absoluto es el punto A, pues es el mayor valor de y que hay. También hay un máximo relativo (punto B), pero no es el mayor valor de y, por lo que no es el máximo absoluto. Lo mismopasa con los mínimos.

4.     Utilizando la representación gráfica de una o varias funciones, explica las diferencias entre máximos y mínimos absolutos y relativos.

5.     Representa gráficamente dos ejemplos de funciones simétricas respecto al eje de ordenadas (eje y) y respecto al origen (0,0). Explica en qué consiste cada tipo de simetría. Dos tipos de simetría dentro de las funciones. Las funciones pares son aquellas que poseen simetría con respecto al eje de las ordenadas. Los dos valores opuestos cualesquiera de la variable independiente son iguales. Las funciones impares son simétricas con respecto al origen de coordenadas. 

6.     Representa gráficamente una función periódica indicando por qué se denomina de esa forma.

7.      Pon dos ejemplos, uno de función continua y otro de función discontinua. ¿Cuál es la diferencia entre ambas? -Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. -Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.

8.     Investiga: ¿Cuál es el origen del término función?

El concepto de función debe haber aparecido desde las primeras etapas del desarrollo de las matemáticas. Si vemos las matemáticas babilónicas encontramos tablas de cuadrados de los números naturales, cubos de los números naturales y recíprocos de los números naturales.

2ºParte: Estudio y representaciones de funciones

9.     Representa gráficamente las funciones que se proponen indicando sus propiedades. Elabora una tabla resumen con todas las gráficas obtenidas.

 a) Función lineal creciente

b) Función lineal constante

c) Función lineal decreciente

d) Rectas paralelas e) Función cuadrática cóncava

f) Función cuadrática convexa

g) Investiga sobre la representación gráfica de otras funciones.

10. Investiga sobre la representación de funciones en coordenadas polares.

11. Utilizando uno de los programas anteriores investiga sobre la representación gráfica de funciones en el espacio (x, y, z). z = x 2 + y 2 

12.Utiliza el programa que has elegido para resolver gráficamente el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas siguiente: 2 3 33 3 2 4 x y x y
13.Elige un modelo de coche que disponga de motorizaciones diesel y gasolina y realiza un estudio gráfico de la función coste que nos permita averiguar cual es el automóvil más adecuado para nosotros en función del número de kilómetros que recorremos anualmente. (Nota: Necesitas el precio del coche, el del combustible y el consumo combinado)
14.Interpreta la gráfica del recorrido del Maratón Popular de Madrid

 Explora el uso del programa SURFER en imaginary

La leyenda del rey Shirham de la India

Cuenta la leyenda que había en la India un rey llamado Shirham, qué estaba permanentemente aburrido, triste, por la pérdida de su hijo en el campo de batalla. Así pues, Shirham encargó, a un sabio llamado Lahur, que inventase un juego que le permitiese salir de su tedio. El juego en cuestión era el ajedrez que conocemos hoy en día. Shirham por el nuevo juego que le dijo a Lahur que le pidiese lo que quisiera como recompensa de semejante invento. Lahur le pidió: un grano de arroz por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta… y así sucesivamente, duplicando en cada casilla la cantidad de la anterior hasta llegar a la última. Por cada casilla, tomamos el doble de granos de arroz que en la anterior, obteniendo una progresión aritmética de primer término 1 y razón 2. Por tanto Lahur había pedido: 18 446 744 073 709 551 615 granos de arroz= lo que la deuda ascendía a 3689348814741910 kg de arroz. ¿Cómo pagó su deuda el rey? El rey le dijo al sabio:“Puesto que no tengo el arroz suficiente para pagar mi deuda, vamos a convertir la deuda en una deuda infinita, de manera que mis hijos seguirán pagando a tus hijos el arroz que necesiten, mis nietos a tus nietos y así garantizamos que se pagará la deuda en función de la siguiente sucesión: S=1+2+22+23+24+25+26…..+2n+… así hasta el infinito” A el sabio, le pareció una buena solución ya que así el tenía asegurado el sustento para él y para sus descendientes.

¿Como sumo gauss los nº naturales del 1 al 100?

Anécdota de Gauss, el niño prodigio, su profesor y la suma de 1 a 100.

Castigó a todos los niños a sumar los 100 primeros números naturales para tenerlos entretenidos y callados un buen rato. Gauss obtuvo la respuesta casi de inmediato: 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 = 5050. ¿Ocurrió de verdad? ¿Hay alguna evidencia histórica? Sigue la historia contando que “Gauss, el niño prodigio, se dio cuenta de que 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, etc, todos suman 101, y que hay 50 de estos pares, resultando 50 × 101 = 5050. La fórmula más general para la suma aritmética de 1 al n es n(n+1)/2.” ¿Cómo verificó el profesor la respuesta de Gauss? ¿Conocía el maestro de escuela la fórmula para sumar una serie aritmética? ¿El maestro sumó uno a uno los números del 1 al 100 alguna vez en su vida?

(Demostración)

Sistemas de enumeración

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos. Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema. Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como un principio a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en un sistema.
Sistemas de numeración no posicionares.
Estos son los más antiguos, se usaban por ejemplo los dedos de la mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba cuerdas con nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la cordialidad entre conjuntos. Entre ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los usados en Meso-américa por mayas, aztecas y otros pueblos . Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20.También los mayas pre-clásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero.
Sistemas de numeración posicionares.
El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posiciona se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posiciona tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior.
También se podría mostrar el sistema binario:

BIENVENIDA

Hola, este blogger es para la asignatura de Matemáticas y os doy la bienvenida.